Question

10．下列结论正确的是④．
①（x²-4x）（x+$\frac{1}{x}$）⁹的展开式中x²的系数为-210；
②在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病；
③已知命题“若函数f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上是增函数，则m≤1”的逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上是减函数”，是真命题；
④不等式ax²-（2a-3）x-1＞0对?x＞1恒成立的充要条件是0≤a≤2．

Answer 1

分析 ①，（x²-4x）（x+$\frac{1}{x}$）⁹的展开式中x²项是（x+$\frac{1}{x}$）⁹的中的一次项与-4x积，即可求出系数加以判断；
②，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，表示有1%的可能性使推断出现错误，不表示有99%的可能患有肺病，也不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故可得结论．
③，“增函数”的否定不是“减函数”；
④、当a=0时，满足条件；当a≠0时，必须满足 f（1）=-a-2≥0，a＞0，$\frac{2a-3}{a}≤1$⇒0＜a≤2

解答 解：对于①，（x²-4x）（x+$\frac{1}{x}$）⁹的展开式中x²项是（x+$\frac{1}{x}$）⁹的中的一次项与-4x积，即-4x•${C}_{9}^{5}{x}^{5}（\frac{1}{x}）^{9-5}=-4{×C}_{9}^{4}{x}^{2}=-504{x}^{2}$，系数为-504，故错；
对于②，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，即有1%的可能性使推断出现错误，不表示有99%的可能患有肺病，也不表示在100个吸烟的人中必有99人患肺病，故不正确；
对于③，已知命题“若函数f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上是增函数，则m≤1”的逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上不是增函数”，故错；
对于④，不等式ax²-（2a-3）x-1＞0对?x＞1恒成立的充要条件是：
当a=0时，满足条件；当a≠0时，必须满足 f（1）=-a-2≥0，a＞0，$\frac{2a-3}{a}≤1$⇒0＜a≤2
不等式ax²-（2a-3）x-1＞0对?x＞1恒成立的充要条件是0≤a≤2成立，故正确．
故答案为：④．

点评 本题考查了命题真假的判定，需要掌握大量的基础知识，属于中档题．