Question

8．设P（x，y），其中x，y∈N，则满足x+y≤4的点P的个数为15．一般地，满足x+y≤n（n∈N）的点P的个数应为$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$个．

Answer 1

分析 欲求满足x+y≤4的点的个数，先在直角坐标系中画出满足x+y≤4的平面区域，后在区域中一一找出整数点即可．再根据归纳推理即可求出答案

解答 解：如图所示，用数形结合法知共有15个满足x+y≤4的点P．
分别为                          （0，0），
                             （1，0），（0，1），
                   （2，0），（1，1），（0，2），
              （3，0），（2，1），（1，2），（0，3），
    （4，0），（3，1），（2，2），（1，3），（0，4），
共有1+2+3+4+5=15个
当n=1时，1+2=3个，
当n=2时，1+2+3=6个，
当n=3时，1+2+3+4=10个，
…
一般地，满足x+y≤n（n∈N）的点P的个数应为1+2+3+…+（n+1）=$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$
故答案为：15，$\frac{（n+1）（n+2）}{2}$

点评 借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，以及归纳推理的问题，体现了数形结合思想、化归思想．属于中档题．