Question

6．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{4}$-θ）
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知直线l过点P（1，0）且与曲线C交于A，B两点，若|PA|+|PB|=$\sqrt{5}$，求直线l的倾斜角α．

Answer 1

分析 （I）把极坐标方程利用x=ρcosθ、y=ρsinθ，化为直角坐标方程．
（Ⅱ）直线l过点P（1，0），参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），代入圆的方程，利用韦达定理，根据|PA|+|PB|=$\sqrt{5}$，求直线l的倾斜角α．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{4}$-θ），即ρ²=2（ρcosθ+ρsinθ）．
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=2x+2y，即（x-1）²+（y-1）²=2；
（Ⅱ）直线l过点P（1，0），参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），代入圆的方程，可得t²-2tsinα-1=0，
设A、B两点对应的参数分别为t₁、t₂，则t₁+t₂=2sinα，t₁t₂=-1．
∴|PA|+|PB|=|t₁ -t₂|=$\sqrt{4si{n}^{2}α+4}$=$\sqrt{5}$，∴sinα=$\frac{1}{2}$（舍去负数），∴α=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．

点评 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线的参数方程、参数的意义，属于基础题．