已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右顶点为A.左焦点为F.离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.过点F的直线l交椭圆C于M.N两点.当l垂直于x轴时.△AMN的面积为$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$．(1)求椭圆C的方程,(2)若直线x=-2上存在点P.使得△PMN为等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右顶点为A，左焦点为F，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过点F的直线l交椭圆C于M、N两点，当l垂直于x轴时，△AMN的面积为$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线x=-2上存在点P，使得△PMN为等边三角形，求直线l的方程．

分析（1）把x=-c代入椭圆方程可得：${y}^{2}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{c}^{2}）$，解得y，可得|MN|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，利用△AMN的面积$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}|MN||AF|$，化为：2b²（a+c）=（2+$\sqrt{2}$a），与$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²联立解出即可得出．
（2）设P（-2，t），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点Q（x₀，y₀），F（-1，0）．直线MN的斜率为0时，不满足题意．设直线MN的方程为：my=x+1，m=0时，MN⊥x轴，可得△PMN不是等边三角形，舍去．m≠0时．与椭圆方程联立化为：（m²+2）y²-2my-1=0．利用根与系数的关系及其中点坐标公式，及其PQ⊥MN，可得：t（m²+2）=3m+2m³．再利用|PQ|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|MN|化简即可得出．

解答解：（1）把x=-c代入椭圆方程可得：${y}^{2}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{c}^{2}）$，解得y=$±\frac{{b}^{2}}{a}$，∴|MN|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，∴△AMN的面积$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}|MN||AF|$=$\frac{1}{2}×\frac{2{b}^{2}}{a}$×（a+c），化为：2b²（a+c）=（2+$\sqrt{2}$a），与$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²联立解得：c=b=1，$a=\sqrt{2}$．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）设P（-2，t），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），线段MN的中点Q（x₀，y₀），F（-1，0）．
直线MN的斜率为0时，不满足题意．
设直线MN的方程为：my=x+1，
m=0时，MN⊥x轴，
|MN|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$，点F到直线x=-2的距离d=1，△PMN不是等边三角形，舍去．
m≠0时．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化为：（m²+2）y²-2my-1=0．
∴y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{-1}{{m}^{2}+2}$．
∴y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{m}{{m}^{2}+2}$，x₀=my₀-1=$\frac{-2}{{m}^{2}+2}$．
∵PQ⊥MN，∴$\frac{t-\frac{m}{{m}^{2}+2}}{-2+\frac{2}{{m}^{2}+2}}$×$\frac{1}{m}$=-1，化为：t（m²+2）=3m+2m³．
|PQ|=$\frac{|-2-tm+1|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{|tm+1|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$．
|MN|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\frac{2\sqrt{2}（1+{m}^{2}）}{2+{m}^{2}}$．
又|PQ|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|MN|，∴$\frac{|tm+1|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{2\sqrt{2}（1+{m}^{2}）}{2+{m}^{2}}$，
化为：（tm+1）（2+m²）=$\sqrt{6}$（1+m²）$\sqrt{1+{m}^{2}}$．
与t（m²+2）=3m+2m³联立可得：m²=$\frac{1}{2}$，解得m=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直线MN的方程为：$\sqrt{2}x$±y+$\sqrt{2}$=0．