Question

8．已知椭圆w：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过点（0，$\sqrt{2}$），椭圆w上任意一点到两焦点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆w的方程；
（Ⅱ）如图，设直线l：y=kx（k≠0）与椭圆w交于P，A两点，过点P（x₀，y₀）作PC⊥x轴，垂足为点C，直线AC交椭圆w于另一点B．
①用直线l的斜率k表示直线AC的斜率；
②写出∠APB的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件列出方程，求出a，b即可求解椭圆W的方程．
（Ⅱ）①设P（x₀，y₀），则A（-x₀，-y₀），C（x₀，0），推出${k_{\;}}=\;\frac{y_0}{x_0}$，然后求解直线AC的斜率．
②∠APB=90°，写出直线AB的方程：$y=\frac{k}{2}（x-{x_0}）$，设点B（x₁，y₁），联立AB与椭圆方程，求出B的坐标，然后求解PB的斜率，利用直线垂直的充要条件证明即可．

解答 （本小题共14分）
解：（Ⅰ）由题意椭圆w：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过点（0，$\sqrt{2}$），可得：b=2，
∵2a=4，∴$a=2，b=\sqrt{2}$，-------------------（2分）
椭圆w的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．--------------------（4分）
（Ⅱ）①设P（x₀，y₀），则A（-x₀，-y₀），C（x₀，0），${k_{\;}}=\;\frac{y_0}{x_0}$．--------------------（6分）
直线AB的斜率${k_1}=\;\frac{{0-（-{y_0}）}}{{{x_0}-（-{x_0}）}}=\frac{y_0}{{2{x_0}}}=\frac{k}{2}$．--------------------（7分）
②∠APB=90°--------------------（8分）
由①可得直线AB的方程：$y=\frac{k}{2}（x-{x_0}）$，设点B（x₁，y₁
联立$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{k}{2}（x-{x_0}）\\{x^2}+2{y^2}=4\end{array}\right.$，
消去y得$（2+{k^2}）{x^2}-2{k^2}{x_0}x+{k^2}{x_0}^2-8=0$-------------（10分）
则$-{x_0}+{x_1}=\frac{{2{k^2}{x_0}}}{{2+{k^2}}}$，解得${x_1}=\frac{{3{k^2}{x_0}+2{x_0}}}{{2+{k^2}}}$，------------（12分）
所以${y_1}=\frac{{{k^3}{x_0}}}{{2+{k^2}}}$，点$B（\frac{{3{k^2}{x_0}+2{x_0}}}{{2+{k^2}}}，\frac{{{k^3}{x_0}}}{{2+{k^2}}}）$．-----------（13分）
因为 ${k_{PB}}=\frac{{\frac{{{k^3}{x_0}}}{{2+{k^2}}}-k{x_0}}}{{\frac{{3{k^2}{x_0}+2{x_0}}}{{2+{k^2}}}-{x_0}}}=\frac{{-2k{x_0}}}{{2{k^2}{x_0}}}=-\frac{1}{k}$，
所以k_AP•k_PB=-1，所以∠APB=90°----------------------（14分）

点评 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．