某种产品的以往各年的宣传费用支出x之间有如下对应数据 x 2 4 5 6 8 t 4 3 6 7 8(1)试求回归直线方程,(2)设该产品的单件售价与单件生产成本的差为y(元).若y与销售量t的函数关系是$y=-\frac{1}{32000}{t}^{2}-\frac{1}{t}+\frac{103}{80}$.试估计宣传费用支出x为多少万元时.销售� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．某种产品的以往各年的宣传费用支出x（万元）与销售量t（万件）之间有如下对应数据

x	2	4	5	6	8
t	4	3	6	7	8

（1）试求回归直线方程；
（2）设该产品的单件售价与单件生产成本的差为y（元），若y与销售量t（万件）的函数关系是$y=-\frac{1}{32000}{t}^{2}-\frac{1}{t}+\frac{103}{80}$（0＜t＜30），试估计宣传费用支出x为多少万元时，销售该产品的利润最大？（注：销售利润=销售额-生产成本-宣传费用）
（参考数据与公式：$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}=145$，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{t}_{i}$=156，b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n\overline{{x}^{2}}}$）

分析（1）利用公式求出$\hat{b}$，$\hat{a}$，即可得出结论．
（2）设销售利润为u，则y与销售量t（万件）的函数关系是$y=-\frac{1}{32000}{t}^{2}-\frac{1}{t}+\frac{103}{80}$（0＜t＜30），
根据销售利润=销售额-生产成本-宣传费用，建立关系，即可求解．

解答解：（1）样本平均数$\overline{x}$=$\frac{1}{5}（2+4+5+6+8）$=5，$\overline{t}$=4+3+$\frac{1}{5}（4+3+6+7+8）$=5.6，
$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}=145$，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{t}_{i}$=156，b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n\overline{{x}^{2}}}$）
∴$\hat{b}$=$\frac{156-5×5×5.6}{145-5×{5}^{2}}$=0.8，
∴$\hat{a}$=5.6-0.8•5=1.6
故得回归直线方程为：t=0.8x+1.6；
（2）该产品的单件售价与单件生产成本的差为y（元），若y与销售量t（万件）的函数关系是$y=-\frac{1}{32000}{t}^{2}-\frac{1}{t}+\frac{103}{80}$（0＜t＜30）．
设销售利润为u，t=0.8x+1.6；即x=$\frac{t-1.6}{0.8}$
则u=yt-x=$（-\frac{1}{32000}{t}^{2}-\frac{1}{t}+\frac{103}{80}）t$-x=$-\frac{1}{32000}{t}^{3}+\frac{3}{80}t+1$
那么：$u'=-\frac{1}{32000}{t}^{2}+\frac{3}{80}=-\frac{3}{80}（\frac{{t}^{2}}{400}-1）$
令u′=0，可得t=20．且当t∈（0，20）时，u′＞0，当t∈（20，30）时，u′＜0，
∴当t=20时，u取得最大值，
此时20=0.8x+1.6，即x=23．
预测得宣传费用支出x为23万元时，销售该产品的利润最大．

点评本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．

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$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$	$\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$
6	500	20	1300

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