某种产品的以往各年的宣传费用支出x之间有如下对应数据 x 2 4 5 6 8 t 4 3 6 7 8(1)试求回归直线方程,(2)设该产品的单件售价与单件生产成本的差为y(元).若y与销售量t的函数关系是$y=-\frac{1}{32000}{t}^{2}-\frac{1}{t}+\frac{103}{80}$.试估计宣传费用支出x为多少万元时.销售� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．某种产品的以往各年的宣传费用支出x（万元）与销售量t（万件）之间有如下对应数据

x	2	4	5	6	8
t	4	3	6	7	8

（1）试求回归直线方程；
（2）设该产品的单件售价与单件生产成本的差为y（元），若y与销售量t（万件）的函数关系是$y=-\frac{1}{32000}{t}^{2}-\frac{1}{t}+\frac{103}{80}$（0＜t＜30），试估计宣传费用支出x为多少万元时，销售该产品的利润最大？（注：销售利润=销售额-生产成本-宣传费用）
（参考数据与公式：$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}=145$，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{t}_{i}$=156，b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n\overline{{x}^{2}}}$）

分析（1）利用公式求出$\hat{b}$，$\hat{a}$，即可得出结论．
（2）设销售利润为u，则y与销售量t（万件）的函数关系是$y=-\frac{1}{32000}{t}^{2}-\frac{1}{t}+\frac{103}{80}$（0＜t＜30），
根据销售利润=销售额-生产成本-宣传费用，建立关系，即可求解．

解答解：（1）样本平均数$\overline{x}$=$\frac{1}{5}（2+4+5+6+8）$=5，$\overline{t}$=4+3+$\frac{1}{5}（4+3+6+7+8）$=5.6，
$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}=145$，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{t}_{i}$=156，b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{xy}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n\overline{{x}^{2}}}$）
∴$\hat{b}$=$\frac{156-5×5×5.6}{145-5×{5}^{2}}$=0.8，
∴$\hat{a}$=5.6-0.8•5=1.6
故得回归直线方程为：t=0.8x+1.6；
（2）该产品的单件售价与单件生产成本的差为y（元），若y与销售量t（万件）的函数关系是$y=-\frac{1}{32000}{t}^{2}-\frac{1}{t}+\frac{103}{80}$（0＜t＜30）．
设销售利润为u，t=0.8x+1.6；即x=$\frac{t-1.6}{0.8}$
则u=yt-x=$（-\frac{1}{32000}{t}^{2}-\frac{1}{t}+\frac{103}{80}）t$-x=$-\frac{1}{32000}{t}^{3}+\frac{3}{80}t+1$
那么：$u'=-\frac{1}{32000}{t}^{2}+\frac{3}{80}=-\frac{3}{80}（\frac{{t}^{2}}{400}-1）$
令u′=0，可得t=20．且当t∈（0，20）时，u′＞0，当t∈（20，30）时，u′＜0，
∴当t=20时，u取得最大值，
此时20=0.8x+1.6，即x=23．
预测得宣传费用支出x为23万元时，销售该产品的利润最大．

点评本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．

练习册系列答案

8．已知函数f（x）=|x+1|-|x-2|，g（x）=x²-x+k．
（1）求f（x）的值域；
（2）?x₁∈[0，2]，?x₂∈[-1，1]，使f（x₁）≥g（x₂），求k的范围．

15．用数字0，1，2，3，4组成无重复数字的四位数，比2340小的四位数共有（　　）

2．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x对年销售额（单位：万元）的影响，对近6年的年宣传费x_i和年销售额y_i（i=1，2，…6）数据进行了研究，发现宣传费x_i和年销售额y_i具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值．

$\overline{x}$	$\overline{y}$	$\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}$	$\sum_{i=1}^{6}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）$
6	500	20	1300

（Ⅰ）根据表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅱ）利用）（Ⅰ）中的回归方程预测该公司如果对该产品的宣传费支出为10万元时销售额时n万元，该公司计划从10名中层管理人员中挑选出3人担任总裁助理，10名中层管理人员中有2名是技术部骨干，记所挑选3人中技术部骨干人数为ξ，且随机变量η=$\frac{n}{40}$+ξ，求η的概率分布列与数学期望．
附：回归直线的倾斜率截距的最小二乘估计公式分别为：
$\widehat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i-1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}$．

12．已知幂函数f（x）的图象过点（2，4），则f（3）的值是9．

19．已知椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，F₁，F₂为椭圆的左右焦点，P是椭圆在第一象限的点，则|PF₁|-|PF₂|的取值范围是（　　）

16．已知正实数m，n满足m+n=3，则mn的最大值为$\frac{9}{4}$．

17．已知m∈R，复数（m²+m）+（m²-m）i是纯虚数，则m=-1．

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