Question

已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于点P，Q．
（Ⅰ）若|PF|=3（点P在第一象限），求直线l的方程；
（Ⅱ）求证：

OP

•

OQ

为定值（点O为坐标原点）．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设P（x₀，y₀），由题意，x₀＞0，且y₀＞0．由已知条件推导出点P到准线x=-1的距离为3，从而求出P（2，2

2

），由此能求出直线l的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为：x=my+1．由

x=my+1 y2=4x

，得y²-4my-4=0，由此利用根的判别式和韦达定理能证明

OP

•

OQ

为定值．

解答： 解：（Ⅰ）∵抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于点P，Q，
∴设P（x₀，y₀），由题意，x₀＞0，且y₀＞0．
∵点P在抛物线C上，且|PF|=3，
∴点P到准线x=-1的距离为3．
∴x₀+1=3，解得x₀=2．…（2分）
又∵y02=4x0，y₀＞0，
∴y0=2

2

，∴P（2，2

2

），
∵F（1，0），…（4分）
∴直线l的方程为y=2

2

（x-1），即y=2

2

x-2

2

．…（5分）
（Ⅱ）由题意可设直线l的方程为：x=my+1．
由

x=my+1 y2=4x

，得y²-4my-4=0．…（7分）
△=16m²+16＞0恒成立．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则

y1+y2=4m y1•y2=-4.

，…（9分）
∴

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂
=（my₁+1）（my₂+1）+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1
=-4（m²+1）+4m²+1
=-3．
∴

OP

•

OQ

=-3为定值．…（11分）

点评：本题考查直线方程的求法，考查向量的数量积为定值的证明，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．