Question

已知函数f（x）=ln（x+1）+aln（1-x）（a∈R）的图象关于原点对称．
（1）求定义域；
（2）求a的值；
（3）若g（x）=e^f（x）-

1-m

2+m

有零点，求m的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数的定义域及其求法,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用对数函数的真数大于0，得到不等式组即可求定义域；
（2）利用函数是奇函数，即可求出a的值；
（3）若g（x）=e^f（x）-

1-m

2+m

有零点，求m的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=ln（x+1）+aln（1-x）有意义，
必有：

x+1＞0 1-x＞0

，解得x∈（-1，1）
函数的定义域为：（-1，1）…（3分）
（2）函数f（x）=ln（x+1）+aln（1-x）（a∈R）的图象关于原点对称，函数是奇函数，
函数的定义域为：（-1，1），
所以f（x）=-f（-x），即ln（x+1）+aln（1-x）=-ln（-x+1）-aln（1+x）
∴a=-1   …（8分）
（3）函数f（x）=ln（x+1）-ln（1-x）=ln

1+x

1-x

，
由题意：e^f（x）-

1-m

2+m

=0，在x∈（-1，1）上有解，
即：

1+x

1-x

=

1-m

2+m

，∴x=-

2

3

m-

1

3

∈（-1，1）．解得：-2＜m＜1
∴m∈（-2，1）…（15分）

点评：本题考查函数的单调性与函数的奇偶性的综合应用，考查基本知识．