Question

已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为

x=2cosφ y=2+2sinφ

，（φ为参数）．点A，B是曲线C上两点，点A，B的极坐标分别为（ρ₁，

π

3

），（ρ₂，

5π

6

）．
（1）写出曲线C的普通方程和极坐标方程；
（2）求|AB|的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：计算题,坐标系和参数方程

分析：（1）应用同角公式中的平方关系，即可化为普通方程，应用x=ρcosθ，y=ρsinθ，可化为极坐标方程；
（2）方法一、在极坐标系中，考虑OA，OB之间的关系，由图可得|AB|；
方法二、将其化为直角坐标，应用两点间的距离公式，即可求得．

解答： 解：（1）曲线C：参数方程

x=2cosφ y=2+2sinφ

，（φ为参数）
化为普通方程x²+（y-2）²=4，
普通方程x²+（y-2）²=4，即x²+y²-4y=0，化为极坐标方程为ρ=4sinθ．
（2）方法1：A(ρ1，

π

3

)，B(ρ2，

5π

6

)可知∠AOB=

π

2

，
则由直径所对的圆周角为直角，得到AB为直径，故|AB|=4；
方法2：A（ρ₁，

π

3

），B（ρ₂，

5π

6

）化为直角坐标为：
A（4cos30°•cos60°，4cos30°•sin60°），B（4cos60°•cos150°，4cos60°•sin150°）
即A(

3

，3)，B(-

3

，1)⇒两点间距离|AB|=4．

点评：本题考查参数方程化为普通方程、极坐标方程，以及极坐标与直角坐标之间的换算，和两点间的距离，是一道基础题．