Question

（本题满分16分）在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：（，且）.
（1）设为坐标轴上的点，满足：过点P分别作圆与圆的一条切线，切点分别为、，使得，试求出所有满足条件的点的坐标；
（2）若斜率为正数的直线平分圆，求证：直线与圆总相交.

Answer 1

（1）或（2）见解析

（1）设点的坐标为，圆与圆的半径分别为，
由题意得，
即  3分
化简得，   5分
因为为坐标轴上的点，
所以点的坐标为或.    7分
（2）依题意可设直线的方程为：，，化简得，
则圆心到直线的距离为，
又圆的半径为，   10分
所以，“直线与圆总相交”等价于
“，且，，
即 ①，”     12分
记，整理得，
当时，；
当时，判别式，解得；
综上得，的最小值为1，      14分
所以，①式，即证．       16分
【命题意图】本题考查直线与圆知识 ，意在考查运算求解能力，数学综合论证能力.