Question

如图所示，抛物线y=1-x²与x轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在x轴上．已知工业用地每单位面积价值为3a元（a＞0），其它的三个边角地块每单位面积价值a元．
（Ⅰ）求等待开垦土地的面积；
（Ⅱ）如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,定积分在求面积中的应用

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先由定积分可求等待开垦土地的面积；
（Ⅱ）进而可得工业用地面积，三个边角地块面积，由此可得土地总价值，利用导数的方法可求函数的最值．

解答： 解：（Ⅰ）由

∫

1 -1

(1-x2)dx=(x-

1

3

x3)

.

1 -1

=

4

3

，
故等待开垦土地的面积为

4

3

…（3分）
（Ⅱ）设点C的坐标为（x，0），则点B（x，1-x²）其中0＜x＜1，
∴SABCD=2x(1-x2)…（5分）
∴土地总价值y=3a•2x(1-x2)+a[

4

3

-2x(1-x2)]
=4a•x(1-x2)+

4

3

a…（7分）
由y′=4a（1-3x²）=0得x=

3

3

或者x=-

3

3

(舍去)…（9分）
并且当0＜x＜

3

3

时，y′＞0，当

3

3

＜x＜1时，y′＜0
故当x=

3

3

时，y取得最大值．…（12分）
答：当点C的坐标为(

3

3

，0)时，整个地块的总价值最大．…（13分）

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，解题的关键是利用定积分知识求面积，从而构建函数，同时考查利用导数求最值，综合性强．