Question

数列{a_n}满足：a1=

1

2

，an+1=

a

2 n

+an，n∈N^*，bn=

1

1+an

，S_n=b₁+b₂+…+b_n，P_n=b₁b₂…b_n，则S_n+2P_n=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件得bn=

1

1+an

=

1

an

-

1

an+1

，从而得到S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

=

1

a1

-

1

an+1

，再由bn=

1

1+an

=

an

an+1

，得P_n=b₁b₂…b_n=

a1

a2

×

a2

a3

×…×

an

an+1

=

a1

an+1

，由此能求出S_n+2P_n．

解答： 解：∵数列{a_n}满足：a1=

1

2

，an+1=

a

2 n

+an，n∈N^*，
∴

1

an+1

=

1

an

•

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，
∴

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，
∴bn=

1

1+an

=

1

an

-

1

an+1

，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

=

1

a1

-

1

an+1

，
bn=

1

1+an

=

an

an+1

，
P_n=b₁b₂…b_n=

a1

a2

×

a2

a3

×…×

an

an+1

=

a1

an+1

，
∴2P_n=

2a1

an+1

=

1

an+1

，
∴S_n+2P_n=

1

a1

-

1

an+1

+

1

an+1

=

1

a1

=2．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．