Question

10．如图，等腰三角形ABC中，E为底边BC的中点，△AEC沿AE折叠，将点C折到点P的位置，使二面角P-AE-B为60°，设点P在平面ABE上的射影为H．
（Ⅰ）证明：点H为EB的中点；
（Ⅱ）若AB=AC=2$\sqrt{2}$，AB⊥AC，求直线BE与平面ABP所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AE⊥BC，推出AE⊥EB，AE⊥KP，得到AE⊥面EPB．说明∠PEB为二面角P-AE-B的平面角，说明△PEB为等边三角形，然后证明PH⊥平面ABE，推出EB的中点H为P在平面ABE上的射影．
（Ⅱ）过点H，作HF⊥AB于F，以$\overrightarrow{HF}$方向为x轴，$\overrightarrow{HB}$方向为y轴，$\overrightarrow{HP}$方向为z轴建立空间直角坐标系H-xyz，求出相关点的坐标，平面PAB的法向量，然后求解直线BE与平面ABP所成角的正弦函数值．

解答 （本小题满分12分）
（Ⅰ）依题意，AE⊥BC，则AE⊥EB，AE⊥KP，EB∩EP=E．
∴AE⊥面EPB．
故∠PEB为二面角P-AE-B的平面角，
所以∠PEB=60°，因为PE=BE，所以△PEB为等边三角形，

所以，若H为EB中点，则PH⊥EB，又因为AE⊥面EPB，
所以AE⊥PH，因为AE∩EB=E，且AE，EB?平面ABE，所以PH⊥平面ABE，
所以EB的中点H为P在平面ABE上的射影．

（Ⅱ）过点H，作HF⊥AB于F，因为PH⊥平面ABE，所以PH⊥HB，PH⊥HF，
所以以$\overrightarrow{HF}$方向为x轴，$\overrightarrow{HB}$方向为y轴，$\overrightarrow{HP}$方向为z轴建立空间直角坐标系H-xyz，
由题知，$B（{0，1，0}），E（{0，-1，0}），P（{0，0\sqrt{3}}），A（{2，-1，0}）$，所以$\overrightarrow{EB}=（{0，2，0}），\overrightarrow{PA}=（{2，-1，-\sqrt{3}}），\overrightarrow{PB}=（{0，1，-\sqrt{3}}）$，
设平面PAB的法向量为$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，所以$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y-\sqrt{3}z=0}\\{y-\sqrt{3}z=0}\end{array}}\right.$，
令$z=\sqrt{3}$，则y=3，x=3，所以$\overrightarrow n=（{3，3，\sqrt{3}}）$，
所以$cos\left?{\overrightarrow n，\overrightarrow{EB}}\right＞=\frac{6}{{\sqrt{4}\sqrt{9+9+3}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
设直线BE与平面ABP所成角为θ，则$sinθ=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

点评 考查直线与平面垂直，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．