Question

18．设命题p：方程x²+m²y²=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：在平面直角坐标系xOy中，圆x²+y²=4上至少有三个点到直线3x-4y+m-5=0的距离为1，若p且q为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 求出命题p为真时m的取值范围，命题q为真时m的取值范围；
当p且q为假时，p假或q假，由此求出m的取值范围．

解答 解：命题p为真时，方程x²+m²y²=1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴0＜m²＜1，解得-1＜m＜0或0＜m＜1；
命题q为真时，即圆x²+y²=4上至少有三个点到直线3x-4y+m-5=0的距离为1，
所以圆心到直线的距离小于或等于1，即$\frac{|m-5|}{5}$≤1，
解得0≤m≤10；
若p且q为假，则p假或q假，
若p为假时，则m≤-1或m=0或m≥1；
若q为假时，则m＜0或m＞10；
所以p且q为假时，实数m的取值范围是m≤0或m≥1．

点评 本题考查了复合命题的真假性问题，也考查了圆锥曲线的简单应用问题，是中档题．