Question

17．如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=3，AC=4，BC=5，且D，E，F，G分别为BC，PC，AB，PA的中点．
（1）求证：AC⊥PB；
（2）求证：FG∥平面ADE．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得出AB⊥AC，由PA⊥平面ABC得出PA⊥AC，故而AC⊥平面PAB，从而得出AC⊥PB；
（2）利用中位线定理得出DE∥PB，FG∥PB，故DE∥FG，于是FG∥平面ADE．

解答 证明：（1）∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC．
PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴PA⊥AC，
又AB?平面PAB，PA?平面PAB，AB∩PA=A，
∴AC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
∴AC⊥PB．
（2）∵D，E，F，G分别为BC，PC，AB，PA的中点，
∴DE∥PB，FG∥PB，
∴DE∥FG，又DE?平面ADE，FG?平面ADE，
∴FG∥平面ADE．

点评 本题考查了项目垂直的判断与性质，线面平行的判定定理，属于中档题．