Question

9．已知数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）求$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}$+$\frac{1}{S_3}$+…+$\frac{1}{{{S_{100}}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据等差中项的性质可知：a₂=4，由=a₂-a₁=2 根据等差数列通项公式及前n项和公式即可求得数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）由（1）可知：S_n=n（n+1），$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，采用“裂项法”即可求得$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}$+$\frac{1}{S_3}$+…+$\frac{1}{{{S_{100}}}}$的值．

解答 解：（1）由：等差数列性质可知a₁+a₂+a₃=3a₂=12，
a₂=4，…1分
由 d=a₂-a₁=2 …2分
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=a₁+（n-1）d=2+2（n-1）=2n …4分
数列{a_n} 的前n 项和为：${S_n}=\frac{{n（{a_1}+{a_n}）}}{2}=\frac{n（2+2n）}{2}=n（n+1）$ …6分
（2）∵$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ …8分
$\therefore$ $\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{{{S_{100}}}}$=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…（\frac{1}{100}-\frac{1}{101}）$ …9分
=$1-\frac{1}{101}=\frac{100}{101}$ …10分
∴$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}$+$\frac{1}{S_3}$+…+$\frac{1}{{{S_{100}}}}$=$\frac{100}{101}$．

点评 本题考查等差数列通项公式及前n项和公式的应用，考查采用“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．