Question

6．在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进10$\sqrt{3}$m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．

Answer 1

分析 由题意及仰角的定义，利用数形结合的思想，利用图形中角与角的联系，求出θ=15°，即可得出结论．

解答 解：由已知BC=30米，CD=10$\sqrt{3}$米，∠ABE=θ，∠ACE=2θ，∠ADE=4θ，
在Rt△ABE中，BE=AEcotθ，
在Rt△ACE中，CE=AEcot2θ，
∴BC=BE-CE=AE（cotθ-cot2θ）．
同理可得：CD=AE（cot2θ-cot4θ）．
∴$\frac{BC}{DC}$=$\frac{AE（cotθ-cot2θ）}{AE（cot2θ-cot4θ）}$，
即$\frac{cotθ-cot2θ}{cot2θ-cot4θ}$=$\sqrt{3}$，
而cotθ-cot2θ=$\frac{sin2θcosθ-cos2θsinθ}{sinθsin2θ}$=$\frac{1}{sin2θ}$．
同理可得cot2θ-cot4θ=$\frac{1}{sin4θ}$．
∴$\frac{sin4θ}{sin2θ}$=2cos2θ=$\sqrt{3}$
∴cos2θ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合题意可知：2θ=30°，θ=15°，
∴AE=$\frac{BC}{cotθ-cot2θ}$=BCsin2θ=15m．

点评 本题考查了学生会从题意中抽取出图形进而分析问题，考查了学生们利用三角形解出三角形的边与角，及二倍角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．