Question

5．已知长方体AC₁中，棱AB=BC=1，棱BB₁=2，连结B₁C，过B点作B₁C的垂线交CC₁于E，交AC于F．
（1）求证：A₁C⊥面EBD；
（2）求四棱锥A-A₁B₁CD的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知结合线面垂直的判断证明线面垂直，得到线线垂直，再由线面垂直的判断得答案；
（2）求出长方体的体积，得到三棱柱A₁AD-B₁BC的体积，再由等积法可知四棱锥A-A₁B₁CD的体积为三棱柱A₁AD-B₁BC的体积的三分之二得答案．

解答 （1）证明：如图，
∵AC₁为长方体，∴AA₁⊥底面ABCD，则AA₁⊥BD，
∵ABCD为正方形，连接AC，BD，则AC⊥BD，
又AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面AA₁C，则A₁C⊥BD，
A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，∴A₁B₁⊥BE，
已知B₁C⊥BE，又A₁B₁∩B₁C=B₁，
∴BE⊥平面A₁B₁C，则BE⊥A₁C，又BE∩BD=B，
∴A₁C⊥面EBD；
（2）解：∵AB=BC=1，BB₁=2，
∴${V}_{A{C}_{1}}=1×1×2=2$，
则${V}_{{A}_{1}AD-{B}_{1}BC}=\frac{1}{2}{V}_{A{C}_{1}}=\frac{1}{2}×2=1$，
∴${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}CD}=\frac{2}{3}{V}_{{A}_{1}AD-{B}_{1}BC}=\frac{2}{3}×1=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的判断，考查了多面体体积的求法，是中档题．