Question

14．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}-2x+1$，
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若对?x∈[-2，3]，都有s≥f（x）恒成立，求出s的范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数求函数的极值即可；
（2）由题意可得只要s≥f（x）_max即可，利用导数求得函数f（x）的最大值即可；

解答 解：（1）f′（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1）=0，解得x=2或x=-1，

x	（-∞，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	$\frac{13}{6}$	递减	-$\frac{7}{3}$	递增

因此极大值是$\frac{13}{6}$，极小值是-$\frac{7}{3}$．
（2）f（-2）=$\frac{1}{3}$，f（3）=-$\frac{1}{2}$，
因此在区间[-2，3]的最大值是$\frac{13}{6}$，最小值是-$\frac{7}{3}$，
∴s≥$\frac{13}{6}$．

点评 本题只要考查利用导数研究函数的极值及最值等知识，属于中档题．