Question

18．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为菱形，AA₁⊥底面ABCD，E为B₁D的中点．
（Ⅰ）证明：平面ACE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若AA₁=AB=1，点C到平面AED的距离为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求三棱锥C-AED的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD，设AC与BD的交点为F，连接EF，由三角形中位线定理可得EF∥BB₁，进一步得到EF⊥平面ABCD，再由面面垂直的判定可得平面ACE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）连接AB₁，C₁D，CD₁，设C₁D交CD₁于点G，由题意知四边形CDD₁C₁为正方形，求得$CG=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，结合点C到平面AED的距离为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，可得CD₁⊥平面ADE，则CD₁⊥AD，再由AD⊥DD₁，可得AD⊥平面CDD₁C₁，即AD⊥CD，从而得到菱形ABCD为正方形，然后利用等积法求得三棱锥C-AED的体积．

解答 解：（Ⅰ）证明：连接BD，设AC与BD的交点为F，连接EF，
∵E为B₁D中点，F为BD中点，
∴EF∥BB₁，则EF⊥平面ABCD，
又∵EF?平面ACE，
∴平面ACE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）连接AB₁，C₁D，CD₁，设C₁D交CD₁于点G，
由题意知四边形CDD₁C₁为正方形，且CD=AB=1，
得$CG=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又∵点C到平面AED的距离为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴CD₁⊥平面ADE，则CD₁⊥AD，
又∵AD⊥DD₁，∴AD⊥平面CDD₁C₁，
∴AD⊥CD，
∴菱形ABCD为正方形，由于E到平面ABCD的距离为$\frac{1}{2}$，
∴${V}_{C-ADE}={V}_{E-ADC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{12}$．

点评 本题以四棱柱为载体，考查平面与平面垂直，以及二面角、体积等问题，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．