Question

1．已知函数f（x）=x²e^ax．
（Ⅰ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）在（1）条件下，求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值；
（Ⅲ）设函数g（x）=2e^x-$\frac{lnx}{x}$，求证：当a=1，对?x∈（0，1），g（x）-xf（x）＞2恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据a的符号，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）通过讨论a的范围，得到函数的单调区间，求出函数的最值即可；
（Ⅲ）问题转化为证明$（2-{x^3}）{e^x}＞2+\frac{lnx}{x}$，令h（x）=（2-x³）e^x，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=e^ax（ax²+2x），令f'（x）=0可得，x=0或$x=-\frac{2}{a}$．（2分）
又a＜0，则可知f（x）在（-∞，0）和$（-\frac{2}{a}，+∞）$上单调递减；在$[0，-\frac{2}{a}]$上单调递增．（4分）
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，当$-\frac{2}{a}≥1$，即-2≤a＜0时，f（x）在[0，1]上单调递增，
则f（x）最大值为f（1）=e^a；（6分）
当$-\frac{2}{a}＜1$，即a＜-2时，f（x）在$[0，-\frac{2}{a}]$单调递增，在$（-\frac{2}{a}，+∞）$上单调递减，
则f（x）的最大值为$f（-\frac{2}{a}）=\frac{4}{a^2}{e^{-2}}$．（9分）
（Ⅲ）要证g（x）-xf（x）＞2，即证$（2-{x^3}）{e^x}＞2+\frac{lnx}{x}$，（10分）
令h（x）=（2-x³）e^x，则h'（x）=（-x³-3x²+2）e^x=-e^x（x+1）（x²+2x-2），
又x∈（0，1），可知在x∈（0，1）内存在极大值点，又h（0）=2，h（1）=e，
则h（x）在x∈（0，1）上恒大于2，（11分）
而$2+\frac{lnx}{x}$在x∈（0，1）上恒小于2，因此g（x）-xf（x）＞2在x∈（0，1）上恒成立．（12分）

点评 本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力．