Question

19．已知等差数列{a_n}满足（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+…（a_n+a_n+1）=2n（n+1）（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{2}$，求证：$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＜1．

Answer 1

分析 （1）由n=1时，a₁+a₂=4，当n=2时，a₁+a₂+a₂+a₃=12，4a₂=12，a₂=3，即可求得a₁=1，则d=a₂-a₁=2，根据等差数列的通项公式即可求得a_n=2n-1；
（2）由（1）可知：b_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{2}$=$\frac{（2n-1）（2n+1）}{2}$，采用“裂项法”即可求得$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$=1-$\frac{1}{2n+1}$＜1．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
当n=1时，a₁+a₂=4，
当n=2时，a₁+a₂+a₂+a₃=12，即4a₂=12，a₂=3，
∴a₁=1，
d=a₂-a₁=2，
∴等差数列{a_n}的通项公式a_n=1+2（n-1）=2n-1；
∴a_n=2n-1；
（2）证明：由（1）得b_n=$\frac{{a}_{n}{a}_{n+1}}{2}$=$\frac{（2n-1）（2n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，
∴$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$=（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，
=1-$\frac{1}{2n+1}$＜1，
∴$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＜1．

点评 本题考查等差数列的性质及通项公式，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．