Question

7．已知B₁，B₂是双曲线$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{5}$=1的虚轴顶点，F₁，F₂其焦点，P是双曲线上一点，圆C是△PF₁F₂的内切圆，则△CB₁B₂的面积为$2\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由双曲线的方程可知：焦点F₁（-3，0），F₂（-3，0）根据双曲线定义丨PF₁丨-丨PF₂丨=2a=4，由圆的切线长定理知：丨PM丨=丨PN丨，则丨MF₁丨-丨NF₂丨=4，丨HF₁丨-丨HF₂丨=4，即（x+c）-（c-x）=4，即可求得C的横坐标，根据三角形的面积公式可知：${S}_{△C{B}_{1}{B}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•丨B₁B₂丨•x即可求得△CB₁B₂的面积．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{4}$-$\frac{y^2}{5}$=1，焦点F₁（-3，0），F₂（-3，0）
设内切圆与x轴的切点是点H，
PF₁、PF₂与内切圆的切点分别为M、N，
∵由双曲线的定义可得：丨PF₁丨-丨PF₂丨=2a=4，
由圆的切线长定理知：丨PM丨=丨PN丨，
故丨MF₁丨-丨NF₂丨=4
即丨HF₁丨-丨HF₂丨=4
设内切圆的圆心I横坐标为x，内切圆半径r，则点H的横坐标为x，
故（x+c）-（c-x）=4，解得：x=2，
${S}_{△C{B}_{1}{B}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•丨B₁B₂丨•x=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×2=$2\sqrt{5}$，
故答案为：$2\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的定义及性质，圆的切线长定理，三角形的面积公式，考查数形结合思想，属于中档题．