Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，长轴长为4，M为右顶点，过右焦点F的直线与椭圆交于A、B两点，直线AM、BM与x=4分别交于P、Q两点，（P、Q不重合）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：

FP

•

FQ

=0．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出2a=4．a=2，e=

c

a

=

1

2

，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）当直线AB与x轴垂直时，

FP

•

FQ

=0，命题成立．直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为y=k（x-1），k≠0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），联立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x-12=0，由此利用韦达定理结合已知条件能推导出

FP

•

FQ

=0．

解答： （1）解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，长轴长为4，
∴2a=4．a=2，e=

c

a

=

1

2

，解得c=1，b²=3，
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）证明：当直线AB与x轴垂直时，则直线AB的方程是x=1，
则A（1，

3

2

），B（1，-

3

2

），
AM、BM与x=4别交于P、Q两点，A，M，P三点共线，

AM

，

MP

共线，
∴P（4，3），∴

FP

=(3，-3)，同理：Q（4，3），

FQ

=(3，3)，
∴

FP

•

FQ

=0，命题成立．
若直线AB与x轴不垂直，则设直线AB的斜率为k，（k≠0）
∴直线AB的方程为y=k（x-1），k≠0，
又设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
联立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，消y得（3+4k²）x²-8k²x-12=0，
∴x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
∴y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=

-9k2

3+4k2

，
又∵A、M、P三点共线，∴y3=

2y1

x1-2

，同理y4=

2y2

x2-2

，
∴

FP

=(3，

2y1

x1-2

)，

FQ

=(3，

2y2

x2-2

)，
∴

FP

•

FQ

=9+

4y1y2

x1x2-2(x1+x2)+4

=0，
综上所述：

FP

•

FQ

=0．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积为0的证明，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．