Question

1．如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．

（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（2）求棱锥E-DFC的体积；
（3）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出$\frac{BP}{BC}$的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由三角形中位线定理得EF∥AB，从而得到AB∥平面DE．
（2）由AD⊥CD，BD⊥CD，AD⊥BD，得AD⊥平面BCD． 行求出三角形CDB的面积，再求出点E到平面CDF的距离，由此能求出棱锥E-DFC的体积．
（3）以点D为坐标原点，直线DB，DC，DA分别为经，x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段BC上存在点P，使AP⊥DE，且$\frac{BP}{BC}$=$\frac{1}{3}$．

解答 解：（1）直线AB∥平面DEF，理由如下
如图，在△ABC中，由E，F分别是AC和BC边的中点，得EF∥AB，
又AB?平面DEF，EF?平面DEF．
∴AB∥平面DE． 
（2）∵正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，
现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．
∴AD⊥CD，BD⊥CD，∴AD⊥BD，得AD⊥平面BCD． 
∵BD=AD=2，CD=2$\sqrt{3}$，∴S_△CDF=$\frac{1}{2}{S}_{△BDC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
点E到平面CDF的距离h=$\frac{1}{2}$AD=1，
∴棱锥E-DFC的体积V=$\frac{1}{3}×{S}_{△CDF}$×h=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（3）以点D为坐标原点，直线DB，DC，DA分别为经，x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2$\sqrt{3}$，0），E（0，$\sqrt{3}$，1），F（1，$\sqrt{3}$，0），D（0，0，0），
设P（x，y，0），$\overrightarrow{AP}$=（x，y，-2），$\overrightarrow{DE}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
由AP⊥DE，得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{DE}$=$\sqrt{3}$y-2=0，得y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
又$\overrightarrow{BP}$=（x-2，y，0），$\overrightarrow{BC}$=（-2，2$\sqrt{3}$，0），
∵$\overrightarrow{BP}$∥$\overrightarrow{BC}$，∴$\sqrt{3}x+y=2\sqrt{3}$，
将y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$代入上式，得x=$\frac{4}{3}$，∴$\overrightarrow{BP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，
∴在线段BC上存在点P，使AP⊥DE，且$\frac{BP}{BC}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线面关系的判断，考查棱锥体积的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．