Question

13．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCA翻折，使得点A，D重合于F，此时二面角E-BC-F的余弦值为（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{7}}{4}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Answer 1

分析 根据折叠前和折叠后的边长关系，结合二面角的平面角定义得到∠FOE是二面角E-BC-F的平面角进行求解即可．

解答 解：取BC的中点O，连接OE，OF，
∵BA=CD，∴BF=FC，即三角形BFC是等腰三角形，
则FO⊥BC，
∵BE=CF，
∴△BEC是等腰三角形，
∴EO⊥BC，
则∠FOE是二面角E-BC-F的平面角，
∵EF⊥CF，BF⊥EF，
∴EF⊥平面BCF，EF⊥FO，
则直角三角形EFO中，OE=AB=2，EF=DE=$\frac{3}{2}$，
则sin∠FOE=$\frac{EF}{OE}$=$\frac{\frac{3}{2}}{2}$=$\frac{3}{4}$，
则cos∠FOE=$\sqrt{1-（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{16}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
故选：B

点评 本题主要考查二面角的求解，根据二面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．注意叠前和折叠后的线段边长的变化关系．