Question

12．在数列{a_n}中，a₁=-11，2a_n=2a_n-1+3（n≥2），S_n为数列{a_n}的前n项和，则S_n的最小值为-46．

Answer 1

分析 根据数列的递推关系，得到数列{a_n}是等差数列，结合等差数列的前n项和公式以及一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：∵a₁=-11，2a_n=2a_n-1+3（n≥2），
∴a_n=a_n-1+$\frac{3}{2}$，（n≥2），
即a_n-a_n-1=$\frac{3}{2}$，
即数列{a_n}是公差d=$\frac{3}{2}$的等差数列，
则S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d=-11n+$\frac{n（n-1）}{2}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$n²-$\frac{47}{4}$n，
对应的抛物线开口向上，对称轴为n=-$\frac{-\frac{47}{4}}{2×\frac{3}{4}}$=$\frac{47}{6}$，
∴当n=8时，S_n取得最小值，最小值为S₈=-11×8+$\frac{8×7}{2}$×$\frac{3}{2}$=-88+42=-46，
故答案为：-46；

点评 本题主要考查数列求和的应用，根据条件得到数列{a_n}是公差d=$\frac{3}{2}$的等差数列，结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．