Question

已知正项数列{a_n}的前n项和S_n，满足S_n=

1

8

（a_n+2）²，求a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得a₁=S₁=

(a1+2)2

8

，解得a₁=2；n≥2时，S_n-S_n-1=

(an+2)2

8

-

(an-1+2)2

8

，从而（a_n-a_n-1-4）（a_n+a_n-1）=0，由a_n＞0，得a_n-a_n-1-4=0，由此能求出a_n=2+4（n-1）=4n-2．

解答： 解：由已知得a₁=S₁=

(a1+2)2

8

，
又a₁＞0，解得a₁=2，
∵S_n=

1

8

（a_n+2）²，
∴n≥2时，S_n-1=

1

8

（a_n-1+2）²，
S_n-S_n-1=

(an+2)2

8

-

(an-1+2)2

8

，
∴8a_n=（a_n+2）²-（a_n-1+2）²，
8a_n=a_n²+4a_n+4-a_n-1²-4a_n-1-4，
（a_n-a_n-1-4）（a_n+a_n-1）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1-4=0，
∴{a_n}是以4为公差的等差数列，
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的前n项和的性质的合理运用．