Question

已知f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x
（1）求f（x）的解析式；
（2）若A={x|x²-4x+3=0}，B={x|f（x）=ax}且A∩B=B，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,交集及其运算

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x，求出a，b，c的值即可；
（2）先求出A={1，3}，B={x|x²-（a+1）x+1=0}，由A∩B=B，只需△≤0，解出a的范围，代入检验即可．

解答： 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c
∵f（0）=1，∴c=1
∴f（x+1）-f（x）
=a（x+1）²+b（x+1）+c-ax²-bx-c
=2ax+b+1
=2x
∴2a=2，b+1=0
∴a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）∵A={x|x²-4x+3=0}={1，3}，
B={x|f（x）=ax}={x|x²-（a+1）x+1=0}，
∵A∩B=B，
∴对于x²-（a+1）x+1=0，
只需△=（a+1）²-4≤0，
解得：-3≤a≤1，
当a=-3时，B={-1}，不合题意，舍，
∴a的取值范围是：（-3，1]．

点评：本题考查了求函数的解析式，集合的运算，是一道中档题．