Question

10．已知数列{a_n}满足$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}$=3（n∈N^*，n≥2），a₄=9．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=1-2log₃a_n，若数列{b_n}的前k项和S_k=-45，求k的值．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用对数的运算性质、等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}$=3（n∈N^*，n≥2），a₄=9．
∴数列{a_n}是公比为3的等比数列，a_n=${a}_{4}×{3}^{n-4}$=9×3^n-4=3^n-2．
（2）b_n=1-2log₃a_n=1-2（n-2）=5-2n．
∴数列{b_n}的前k项和S_k=$\frac{k（3+5-2k）}{2}$=-45，化为k²-4k-45=0．k∈N^*．
解得k=9．

点评 本题考查了对数的运算性质、等比数列与等差数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．