Question

11．（1）若a，b，c，x，y，z＞0，求证：（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）≥（ax+by+cz）²；
（2）若a，b，c＞0，且a+b+c=1，求证：$\sqrt{a}$+$\sqrt{2b}$+$\sqrt{3c}$≤$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 （1）展开式后利用基本不等式即可证明，
（2）根据（1），即可证明．

解答 证明：（1）（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）=a²x²+a²y²+a²z²+b²x²+b²y²+b²z²+c²x²+c²y²+c²z²=（a²x²+b²y²+c²z²）+（a²y²+b²x²）+（a²z²+c²x²）+（b²z²+c²y²）≥（a²x²+b²y²+c²z²）+2abxy+2acxz+2bcyz=（ax+by+cz）²，
当且仅当ay=bx，az=cx，bz=cy即$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$时取等号．
（2）由（1）知：$\sqrt{a}+\sqrt{2b}+\sqrt{3c}=1•\sqrt{a}+\sqrt{2}•\sqrt{b}+\sqrt{3}•\sqrt{c}$$≤\sqrt{1+2+3}•\sqrt{a+b+c}=\sqrt{6}$，
当且仅当$\frac{1}{{\sqrt{a}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{b}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{c}}}$时，即$a=\frac{1}{6}，b=\frac{1}{3}，c=\frac{1}{2}$时取等号

点评 本题考查了基本不等式的应用和不等式的证明，属于中档题．