Question

6．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+ϕ）-cos（ωx+ϕ）（0＜ϕ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求f（$\frac{π}{8}$）的值；
（2）求函数y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）的最大值及对应的x的值．

Answer 1

分析 利用两角差的正弦化简，再由已知求得ω与φ的值，可得函数f（x）的解析式．
（1）在函数解析式中取x=$\frac{π}{8}$，求f（$\frac{π}{8}$）的值；
（2）求出函数y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$），利用辅助角公式化积后可得函数的最大值及对应的x的值．

解答 解：f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$）．
∵函数y=f（x）的图象的相邻对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，即T=π，则ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{π}$=2．
∴f（x）=2sin（2x+φ-$\frac{π}{6}$）．
又f（x）为偶函数，∴φ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，即φ=$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z．
∵0＜φ＜π，∴φ=$\frac{2π}{3}$，
则f（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x．
（1）f（$\frac{π}{8}$）=2cos（2×$\frac{π}{8}$）=2cos$\frac{π}{4}$=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$；
（2）y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）=2cos2x+2cos（2x+$\frac{π}{2}$）=-2sin2x+2cos2x=-2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）．
当2x-$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，即x=-$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z时，函数y=f（x）+f（x+$\frac{π}{4}$）取最大值2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．