Question

13．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+（2a-1）x．
（1）当a=3时，求函数f（x）的极值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）a=3时，f（x）=$\frac{1}{3}$x³+3x²+5x，
f′（x）=x²+6x+5=（x+1）（x+5），
令f′（x）＞0，解得：x＞-1或x＜-5，
令f′（x）＜0，解得：-5＜x＜-1，
∴f（x）在（-∞，-5）递增，在（-5，-1）递减，在（-1，+∞）递增，
∴f（x）_极大值=f（-5）=$\frac{25}{3}$，f（x）_极小值=f（-1）=-$\frac{7}{3}$；
（2）f′（x）=（x+2a-1）（x+1），
a＜1时，-2a+1＞-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞-2a+1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜-2a+1，
∴f（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，-2a+1）递减，在（-2a+1，+∞）递增，
a=1时，f′（x）≥0，f（x）在R递增，
a＞1时，-2a+1＜-1，
令f′（x）＞0，解得：x＜-2a+1或x＞-1，
令f′（x）＜0，解得：-2a+1＜x＜-2a+1，
∴f（x）在（-∞，-2a+1）递增，在（-2a+1，-1）递减，在（-1，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．