Question

2．过抛物线y²=4x的焦点F，且倾斜角为30°的直线与抛物线交于A，B两点，则以AB为直径的圆的标准方程是（x-7）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=64．

Answer 1

分析 直线AB的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），即x=$\sqrt{3}$y+1，代入y²=4x，得y²-4$\sqrt{3}$y-4=0，求出AB的中点坐标，利用抛物线的定义，求出圆的半径，即可得出结论．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点F（1，0），直线AB的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），即x=$\sqrt{3}$y+1，
代入y²=4x，得y²-4$\sqrt{3}$y-4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x₀，y₀），则y₁+y₂=4$\sqrt{3}$，
∴y₀=2$\sqrt{3}$，x₀=7
设A，B到准线的距离分别为d_A，d_B，圆的半径为r，
由抛物线的定义可知|AF|=d_A，|BF|=d_B，于是|AB|=|AF|+|BF|，
∴M到准线的距离d=r=7-（-1）=8，
∴以AB为直径的圆的标准方程是（x-7）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=64．
故答案为：（x-7）²+（y-2$\sqrt{3}$）²=64．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查圆的方程，正确求出圆的圆心与半径是关键．