Question

1．已知△ABC中，D为BC的中点，若∠B=75°，$∠ADC={150°}，BD=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，则△ABC的周长为6+2（$\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 根据题意，利用角度关系构建三角形，再利用正弦定理求各边长，即可得到周长．

解答 解：如图，连接AD，∵∠B=75°，∠ADC=150°
∴∠BAD=75°
那么：$\frac{BD}{sin∠BAD}=\frac{AB}{sin∠BDA}$
即$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{sin75°}=\frac{AB}{sin150°}$
解得：AB=2．
又∵BD=DC=$\sqrt{6+\sqrt{2}}$
∴BC=2$\sqrt{6}$+$2\sqrt{2}$．
所以：∠DAC=∠DCA=15°．
可得∠BAC=90°，
那么：AC=BC•cos∠BCA=4+2$\sqrt{3}$
因此：△ABC的周长为：BC+AC+AB=2+2$\sqrt{6}$+$2\sqrt{2}$+4+2$\sqrt{3}$=6+2（$\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{3}$）
故答案为：6+2（$\sqrt{6}+\sqrt{2}+\sqrt{3}$）

点评 本题考查了解三角形在实际生活中的运用，学会利用角度和边长的关系建立等式，灵活运用正弦定理．属于中档题．