Question

某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为4元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤6）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（11≤x≤14）时，一年的销售量为（16-x）²万件．
（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）求分公司一年的利润的最大值Q（a）．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（1）求出每件产品的利润，乘以价格得到利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）求出利润函数的导函数，由a得范围得到导函数零点的范围，分类讨论原函数在[11，14]上的单调性，并求出a在不同范围内的利润函数的最值．

解答： 解：（1）每件产品的利润为：x-4-a元，
分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=（x-4-a）（16-x）²，x∈[11，14]；
（2）L′（x）=（16-x）²-2（x-4-a）（16-x）
=（16-x）（-3x+24+2a）．
令L′（x）=0，得x=8+

2

3

a或x=16（不合题意，舍去）．
∵3≤a≤6，∴10≤8+

2

3

a≤12．
在x=8+

2

3

a左右两侧，L′（x）的值由正变负．
∴当10≤8+

2

3

a≤11，最大值Q（a）=L（11）=25（7-a）；
当11≤8+

2

3

a≤12，最大值Q（a）=L（8+

2

3

a）=36（6-a）=4(4-

a

3

)3．

点评：本题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，是中档题．