Question

18．设α，β为锐角，且sin α=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos β=$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，则α+β的值为（　　）

• A． $\frac{3}{4}$π
• B． $\frac{5}{4}$π
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{4}或\frac{3π}{4}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得cosα、sinβ的值，再利用两角和的余弦公式求得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ的值，结合α+β的范围，可得α+β的值．

解答 解：∵α，β为锐角，∴α+β∈（0，π），∵sin α=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos β=$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，
∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•$\frac{3\sqrt{10}}{10}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$•$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故α+β=$\frac{π}{4}$，
故选：C．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，属于基础题．