Question

8．已知函数f（x）=|x-1|-|2x-3|．
（1）已知f（x）≥m对0≤x≤3恒成立，求实数m的取值范围；
（2）已知f（x）的最大值为M，a，b∈R₊，a+2b=Mab，求a+2b的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的分段函数的形式，根据函数的单调性求出f（x）的最小值，求出m的范围即可；
（2）求出f（x）的最大值，得到$\frac{2}{b}$+$\frac{4}{a}$=1，根据乘“1”法判断即可．

解答 解：（1）∵f（x）=|x-1|-|2x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{x-2，x≤1}\\{3x-4，1＜x＜\frac{3}{2}}\\{2-x，x≥\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴f（x）在区间（-∞，$\frac{3}{2}$）上是增函数，在区间（$\frac{3}{2}$，+∞）上是减函数．
∵f（0）=-2，f（3）=-1，
∴当0≤x≤3时，f（x）_min=f（0）=-2，则m≤-2．
（2）由（1）知，f（x）_max=f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
∴a+2b=$\frac{1}{2}$ab，∴$\frac{2}{b}$+$\frac{4}{a}$=1，
∴a+2b=（a+2b）（$\frac{2}{b}$+$\frac{4}{a}$）=8+2（$\frac{a}{b}$+$\frac{4b}{a}$）≥8+2×2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{4b}{a}}$=16，
当且仅当$\frac{4b}{a}$=$\frac{a}{b}$，即a=2b=8时，a+2b取得最小值16．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及基本不等式的性质，是一道中档题．