Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}中a₁=1，a₄，a₈，a₁₆成等比数列，
（Ⅰ）试求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=a_n•2an，试求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由等差数列的通项公式结合等比数列的性质列式求出等差数列的公差，则等差数列的通项公式可求；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=a_n•2an，然后利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），则a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）d，
∴a₄=1+3d，a₈=1+7d，a₁₆=1+15d，
又∵a₄，a₈，a₁₆成等比数列，
∴a82=a4•a16，即（1+7d）²=（1+3d）（1+15d），
解得：d=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=n，
∴b_n=a_n•2an=n•2ⁿ，
Tn=1×2+2×22+…+n•2n，
2Tn=1×22+2×23+…+n•2n+1．
作差得：
-Tn=2+22+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=(1-n)2n+1-2．
∴Tn=(n-1)2n+1+2．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．