Question

7．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：

年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

（1）由以上数据经计算得：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$，求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．

Answer 1

分析 （1）根据数据，求得年份代号t及人均纯收入y的平均数，根据最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，即可求得线性回归方程．
（2）根据线性回归方程中b=$\frac{1}{2}$＞0，得出结论是平均人均纯收入每年增长约500元，将2015年的年份t的值代入线性回归方程，求出y的值，即可预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．

解答 解：（1）∵$\overline{t}$=$\frac{1+2+…+7}{7}$=4，$\overline{y}$=$\frac{2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9}{7}$=4.3，
设回归方程为y=bt+a，由线性回归方程过样本中心点（$\overline{t}$，$\overline{y}$）代入公式，经计算得
a=$\overline{y}$-b$\overline{t}$=4.3-$\frac{1}{2}$×4=2.3
所以，y关于t的回归方程为y=0.5t+2.3．
（2）∵b=$\frac{1}{2}$＞0，
∴2007年至2013年该区人均纯收入稳步增长，平均人均纯收入每年增长约500元，
预计到2015年，该区人均纯收入y=0.5×9+2.3=6.8（千元）
所以，预计到2015年，该区人均纯收入约6千8百元左右．

点评 本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，属于基础题．