Question

19．在三棱锥S-ABC中，∠ACB=90°，SA⊥平面ABC，SA=2，AC=BC=1，则异面直线SB与AC所成角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{6}$

Answer 1

分析 如图所示，把△ABC补成正方形EACB，则有AE∥BC，AC∥BE．即∠SBE就是异面直线SB与AC所成的角．解直角三角形SBE即可得到结果．

解答 解：如图所示，把△ABC补成正方形EACB，则有AE∥BC，AC∥BE．
∴∠SBE就是异面直线SB与AC所成的角．
∵∠ACB=90°，SA⊥平面ABC，可得BC⊥面SAC，AE⊥面SAC，
∵SA=2，AC=BC=1，∴$SE=\sqrt{{2}^{2}+{1}^{1}}=\sqrt{5}$
∵AC⊥AE，AC⊥SA，SA∩AE=A，∴AC⊥面SAE，
∴BE⊥面SAE，即BE⊥SE．
在Rt△SEB中，cos$∠SBE=\frac{BE}{SB}=\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故选：D

点评 本题考查了空间异面直线的夹角的计算，属于中档题．