某工厂的污水处理程序如下:原始污水必先经过A系统处理.处理后的污水达到环保标准的概率为p．经化验检测.若确认达标便可直接排放,若不达标则必须进行B系统处理后直接排放．某厂现有4个标准水量的A级水池.分别取样.检测．多个污水样本检测时.既可以逐个化验.也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有样本不达标.则混合样本的化验结果� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．某工厂的污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p（0＜p＜1）．经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放．
某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测．多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验．混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标．若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放．
现有以下四种方案，
方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验；
方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；
方案四：混在一起化验．
化验次数的期望值越小，则方案的越“优”．
（Ⅰ）若$p=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；
（Ⅱ）若$p=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一，二，四中哪个最“优”？
（Ⅲ）若“方案三”比“方案四”更“优”，求p的取值范围．

分析（Ⅰ）计算2个A级混合样本达标的概率，再根据对立事件原理求得它们不达标的概率；
（II）计算方案一：逐个检测，检测次数为ξ=4；
方案二：检测次数为ξ₂，则ξ₂可能取值为2，4，6，求概率分布列，计算数学期望；
方案四：混在一起检测，检测次数为ξ₄，则ξ₄可取值为1，5，求概率分布列，计算数学期望；
比较得出选择方案几最“优”；
（III）方案三：化验次数为η₃，则η₃可取值为2，5，求概率分布列，计算数学期望；
方案四：化验次数为η₄，则η₄可取值为1，5，求概率分布，计算数学期望；
由题意列不等式E（η₃）＜E（η₄），求出p的取值范围．

解答解：（Ⅰ）2个A级混合样本达标的概率是${（{\frac{2}{{\sqrt{5}}}}）^2}=\frac{4}{5}$，…（2分）
所以根据对立事件原理，2个A级混合样本不达标的概率为$1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$；…（4分）
（II）方案一：逐个检测，检测次数为ξ=4；
方案二：由（I）知，每组2个样本的检测时，若达标则检测次数为1，概率为$\frac{4}{5}$；
若不达标则检测次数为3，概率为$\frac{1}{5}$；
故方案二的检测次数为ξ₂，则ξ₂可能取值为2，4，6；
其概率分布列如下，

ξ₂	2	4	6
P	${（{\frac{4}{5}}）^2}$	$C_2^1×\frac{1}{5}×\frac{4}{5}$	${（{\frac{1}{5}}）^2}$

可求得方案二的期望为$E（{ξ_2}）=2×\frac{16}{25}+4×\frac{8}{25}+6×\frac{1}{25}=\frac{70}{25}$；…（6分）
方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ₄，
则ξ₄可取值为1，5；其概率分布列如下：

ξ₄	1	5
P	${（{\frac{2}{{\sqrt{5}}}}）^4}$	$1-{（{\frac{2}{{\sqrt{5}}}}）^4}$

可求得方案四的期望为$E（{ξ_4}）=1×\frac{16}{25}+5×\frac{9}{25}=\frac{61}{25}$，…（8分）
比较可得E（ξ₄）＜E（ξ₂）＜4，故选择方案四最“优”；…（9分）
（III）方案三：设化验次数为η₃，则η₃可取值为2，5；
其概率分布为：

η₃	2	5
P	p³	1-p³

数学期望为$E（{η_3}）=2•{p^3}+5（{1-{p^3}}）=5-3{p^3}$；…（10分）
方案四：设化验次数为η₄，则η₄可取值为1，5；
其概率分布为：

η₄	1	5
P	p⁴	1-p⁴

数学期望为$E（{η_4}）=1•{p^4}+5（{1-{p^4}}）=5-4{p^4}$；…（11分）
由题意得E（η₃）＜E（η₄），所以5-3p³＜5-4p⁴，解得p＜$\frac{3}{4}$；
所以当$0＜p＜\frac{3}{4}$时，方案三比方案四更“优”…（12分）

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