Question

3．直线$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=9-t}\end{array}\right.$（t为参数）被圆$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosθ+3}\\{y=5sinθ-1}\end{array}\right.$（θ为参数）所截得的弦长为$2\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 分别化直线与圆的参数方程为普通方程，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由垂径定理得答案．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=9-t}\end{array}\right.$，得x+y-8=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosθ+3}\\{y=5sinθ-1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x-3=5cosθ}\\{y+1=5sinθ}\end{array}\right.$，
两式平方作和得：（x-3）²+（y+1）²=25．
∴圆心坐标为（3，-1），半径为5．
圆心到直线的距离d=$\frac{|1×3+1×（-1）-8|}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$．
∴直线被圆所截弦长为2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}=2\sqrt{25-18}=2\sqrt{7}$．
故答案为：$2\sqrt{7}$．

点评 本题考查参数方程化普通方程，考查了直线与圆位置关系的应用，考查垂径定理的应用，是基础题．