Question

20．已知函数f（x）=（x²+bx+b）$\sqrt{1-2x}$（b∈R）
①当b=-1时，求f（x）的极值．
②若f（x）在区间（0，$\frac{1}{3}$）上单调递增，求b的取值范围．
③试判断f（x）在定义域上的单调性．

Answer 1

分析 ①将b=-1代入函数f（x）的表达式，求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；
②先求出函数f（x）的导数，问题转化为从而3b≤-5x+2，$x∈（0，\frac{1}{3}）$恒成立，从而求出b的范围；
③先求出函数的导数，通过讨论b的范围，从而求出函数的单调性．

解答 解：①当b=-1时$f'（x）=\frac{-5x（x-1）}{{\sqrt{1-2x}}}$，定义域为$（-∞，\frac{1}{2}）$． 
当x∈（-∞，0）时f′（x）＜0，当$x∈（0，\frac{1}{2}）$，f′（x）＞0时，
所以，当x=0时取得极小值f（0）=-1，无极大值．
②$f'（x）=\frac{-x（5x+3b-2）}{{\sqrt{1-2x}}}$，当$x∈（0，\frac{1}{3}）$时$\frac{-x}{{\sqrt{1-2x}}}$＜0，
故5x+3b-2≤0，从而3b≤-5x+2，$x∈（0，\frac{1}{3}）$恒成立，
设g（x）=-5x+2，$x∈（0，\frac{1}{3}）$，即3b≤g（$\frac{1}{3}$），解得b≤$\frac{1}{9}$；
③$f'（x）=\frac{-x（5x+3b-2）}{{\sqrt{1-2x}}}$，定义域为$（-∞，\frac{1}{2}）$，
当b=$\frac{2}{3}$时，在$（-∞，\frac{1}{2}]$上单调递减；
当b≤$-\frac{1}{6}$时，f（x）在（-∞，0）内单调递减，在$（0，\frac{1}{2}）$内单调递增；
当$-\frac{1}{6}＜b＜\frac{2}{3}$时，f（x）在（-∞，0）内单调递减，在$（0，\frac{2-3b}{5}）$内单调递增，在 $（\frac{2-3b}{5}，\frac{1}{2}）$内单调递减；
当$b＞\frac{2}{3}$时，f（x） 在$（-∞，\frac{2-3b}{5}）$内单调递减，在$（\frac{2-3b}{5}，0）$内单调递增；在$（0，\frac{1}{2}）$内单调递减．

点评 本题考查了函数的单调性、函数的极值问题，考查函数恒成立问题，分类讨论思想，是一道中档题．