Question

12．用坐标法证明：等腰三角形ABC底边上一点到两腰的距离和等于一腰上的高．

Answer 1

分析 以BC所在的直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设B（-a，0），C（a，0），A（0，b），求出|PD|，|PE|，点 C到 AB的距离|CF|．推出结果．

解答 证明：在三角形中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB与点D，PE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F．
以BC所在的直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系
设B（-a，0），C（a，0），A（0，b），则直线AB的方程是bx-ay+ab=0．
直线AC的方程是bx+ay+ab=0．设 P（x₀，0），-a＜x₀＜a
则点p到直线AB，AC的距离分别为
|PD|=$\frac{|{bx}_{0}-0+ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{{bx}_{0}+ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$
|PE|=$\frac{|{bx}_{0}-ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{ab-{bx}_{0}}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$
点 C到 AB的距离为
|CF|=$\frac{2ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
∴|PD|+|PE|=|CF|
等腰三角形底边上一点到两腰的距离和等于一腰上的高．

点评 本题考查向量的几何中的应用，点到直线的距离个数的应用，考查计算能力．