Question

已知集合M是满足下列性质函数的f（x）的全体，在定义域D内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）函数f（x）=

1

x

，g（x）=x²是否属于集合M？分别说明理由．
（2）若函数f（x）=lg

a

x2+1

属于集合M，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,元素与集合关系的判断,函数的定义域及其求法

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）依题意，若f（x）∈M，则存在非零实数x₀，使得

1

x0+1

=

1

x0

+1，此方程无解⇒f（x）∉M；同理可判断，g（x）∈M；
（2）f（x）∈M⇒存在实数x₀，使得lg

a

(x0+1)2+1

=lg

a

x02+1

+lg

a

2

⇒（a-2）x02+2ax₀+2a-2=0，对a分a=2与a≠2讨论，即可求得a的取值范围．

解答： 解：（1）对于函数f（x）=

1

x

，D=（-∞，0）∪（0，+∞），若f（x）∈M，
则存在非零实数x₀，使得

1

x0+1

=

1

x0

+1，即x02+x₀+1=0，显然此方程无实数解，
∴f（x）∉M；
函数g（x）=x²，D=R，若g（x）∈M成立，
则有(x0+1)2=x02+1，解得x₀=0，
∴g（x）∈M；
（2）由条件得：D=R，a＞0，由f（x）∈M知，
存在实数x₀，使得lg

a

(x0+1)2+1

=lg

a

x02+1

+lg

a

2

，
∴

a

(x0+1)2+1

=

a

x02+1

•

a

2

，
化简得：（a-2）x02+2ax₀+2a-2=0，
当a=2时，x₀=-

1

2

，符号题意；
当a≠2时，由△≥0得：4a²-4（a-2）（2a-2）≥0，
即3-

5

≤a≤3+

5

（a≠2），
综上所述，a的取值范围是[3-

5

，3+

5

]．

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查元素与集合关系的判断，突出考查方程思想与运算能力，属于中档题．