题目内容
有下列4个命题：
①函数f（x）=lg（
+
+1）既是奇函数又是偶函数；
②函数f（x）=4sin（2x+
）（x∈R），图象关于点（-
，0）对称，也关于直线x=
对称；
③若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（3）-f（4）=-1；
④已知
=p，
=q，且p≠±1，q≠0，则tanαtanβ=
；
其中假命题的序号是 ．
①函数f（x）=lg（
| cosx-1 |
| 1-cosx |
②函数f（x）=4sin（2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
③若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（3）-f（4）=-1；
④已知
| sinα |
| sinβ |
| cosα |
| cosβ |
| p(q2-1) |
| q(p2-1) |
其中假命题的序号是
考点：命题的真假判断与应用
专题：函数的性质及应用,简易逻辑
分析：对于①，求出函数的定义域，化简后得到f（x）=0，由此可知命题①为真命题；
对于②，直接求出f(-
)的值加以判断；
对于③，由函数的周期性、奇偶性结合已知求出f（3）、f（4）的值加以判断；
对于④，通过三角恒等变换求解tanαtanβ的值进行判断．
对于②，直接求出f(-
| π |
| 6 |
对于③，由函数的周期性、奇偶性结合已知求出f（3）、f（4）的值加以判断；
对于④，通过三角恒等变换求解tanαtanβ的值进行判断．
解答：
解：对于①，由
，得cosx=1，
∴函数定义域为{x|x=2kπ，k∈Z}．
∴f（x）=lg（
+
+1）=lg1=0．
函数f（x）既是奇函数又是偶函数．命题①为真命题；
对于②，当x=-
时，f（x）=4sin[2×（-
）+
]=4sin0=0．
∴图象关于点（-
，0）对称，不关于直线x=
对称．命题②为假命题；
对于③，若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，
则f（3）=f（3-5）=f（-2）=-f（2）=-2．f（4）=f（4-5）=f（-1）=-f（1）=-1．
∴f（3）-f（4）=-1．命题③为真命题；
对于④，
=p，
=q，且p≠±1，q≠0，
∴sinα=psinβ，cosα=qcosβ．
sin2α+cos2α=p2sin2β+q2cos2β=（p2-q2）sin2β+q2（sin2β+cos2β）=1．
则sin2β=
．
又
=
=
．
∴tanαtanβ=
tan2β=
=
=
．
命题④为假命题．
∴假命题的序号是②④．
故答案为：②④．
|
∴函数定义域为{x|x=2kπ，k∈Z}．
∴f（x）=lg（
| cosx-1 |
| 1-cosx |
函数f（x）既是奇函数又是偶函数．命题①为真命题；
对于②，当x=-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
∴图象关于点（-
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
对于③，若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，
则f（3）=f（3-5）=f（-2）=-f（2）=-2．f（4）=f（4-5）=f（-1）=-f（1）=-1．
∴f（3）-f（4）=-1．命题③为真命题；
对于④，
| sinα |
| sinβ |
| cosα |
| cosβ |
∴sinα=psinβ，cosα=qcosβ．
sin2α+cos2α=p2sin2β+q2cos2β=（p2-q2）sin2β+q2（sin2β+cos2β）=1．
则sin2β=
| 1-q2 |
| p2-q2 |
又
| tanβ |
| tanα |
| cosαsinβ |
| sinαcosβ |
| q |
| p |
∴tanαtanβ=
| p |
| q |
| p |
| q |
| sin2β |
| 1-sin2β |
| p |
| q |
| ||
1-
|
| p(1-q2) |
| q(p2-1) |
命题④为假命题．
∴假命题的序号是②④．
故答案为：②④．
点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性的性质，考查了三角恒等变换的应用，是中档题．
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