Question

15．若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且x＞0时，f（x）=lg（x+1）
（1）求f（x）的解析式，并画出大致图象；
（2）若对于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（k-2t²）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）在R上为奇函数，可得f（0）=0，再由x＜0，-x＞0，f（x）=-f（-x），即可得到所求解析式，画出分段函数的图象；
（2）由f（x）在R上为奇函数，且为增函数，可得t²-2t＜-k+2t²，再由参数分离和二次函数的最值的求法，即可得到所求k的范围．

解答 解：（1）∵f（x）为定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，
x＜0时，-x＞0，当x＞0时，f（x）=lg（x+1）
则f（x）=-f（-x）=-lg（-x+1），
综上，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}lg（x+1），x＞0\\ 0，x=0\\-lg（-x+1），x＜0\end{array}\right.$；
f（x）的大致图象为右图；
（2）由（1）可知f（x）在R上为增函数，
f（t²-2t）+f（k-2t²）＜0⇒f（t²-2t）＜-f（k-2t²）
⇒f（t²-2t）＜f（-k+2t²）⇒t²-2t＜-k+2t²⇒k＜t²+2t恒成立，
由t²+2t=（t+1）²-1≥-1，⇒k＜-1，
所以k的取值范围是（-∞-1）．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和二次函数的最值的求法，属于中档题．