Question

10．已知函数f（x）=lnx-$\frac{m}{x}$（m∈R）在区间[1，e]上取得最小值4，则m=（　　）

• A． -3e
• B． -1
• C． -e³
• D． e²

Answer 1

分析 求出函数的导函数，然后分m的范围讨论函数的单调性，根据函数的单调性求出函数的最小值，利用最小值等于4求m的值．

解答 解：函数f（x）=lnx-$\frac{m}{x}$的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{m}{{x}^{2}}$．
当f′（x）=0时，$\frac{1}{x}$+$\frac{m}{{x}^{2}}$=0，此时x=-m，如果m≥0，则无解．
所以，当m≥0时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（x）_min=f（1）=-m=4，m=-4，矛盾舍去；
当m＜0时，
若x∈（0，-m），f′（x）＜0，f（x）为减函数，若x∈（-m，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数，
所以f（-m）=ln（-m）+1为极小值，也是最小值；
①当-m＜1，即-1＜m＜0时，f（x）在[1，e]上单调递增，所以f（x）_min=f（1）=-m=4，所以m=-4（矛盾）；
②当-m＞e，即m＜-e时，f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）_min=f（e）=1-$\frac{m}{e}$=4．所以m=-3e．
③当-1≤-m≤e，即-e≤m≤-1时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（-m）=ln（-m）+1=4．此时m=-e³＜-e（矛盾）．
综上m=-3e．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．