Question

9．在△ABC中，acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0，a=2，S_△ABC=$\sqrt{3}$，则b+c=4．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化简，将sinB=sin（A+C）代入，利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后根据sinC不为0，再利用万能公式化简求出tan$\frac{A}{2}$的值，即可确定出A的度数，结合三角形面积公式可求bc，利用余弦定理即可得解．

解答 解：已知等式利用正弦定理化简得：sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC-sinB-sinC=0，
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC-sin（A+C）-sinC=0，即sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC-sinAcosC-cosAsinC-sinC=0，
∴$\sqrt{3}$sinAsinC-cosAsinC-sinC=0，
∵sinC≠0，
∴$\sqrt{3}$sinA=cosA+1，即$\frac{sinA}{1+cosA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tan$\frac{A}{2}$=$\frac{sinA}{1+cosA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{A}{2}$=$\frac{π}{6}$，即A=$\frac{π}{3}$．
∴S_△ABC=$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc，解得：bc=4，
∴由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，即4=（b+c）²-2bc-bc=（b+c）²-12，解得：b+c=4．
故答案为：4．

点评 此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．